کار، انرژی و توان در فیزیک؛ فرمول‌ها را با واحد بفهمیم

سیستم را پیش از حساب انتخاب کن

وقتی می‌گوییم انرژی تغییر کرد، باید بگوییم انرژیِ چه سیستمی. جعبه، جعبه و زمین، یا بدنِ فرد سه انتخابِ متفاوت‌اند. نیروی خارجی و شکلِ حسابداریِ انرژی به مرزِ سیستم بستگی دارد. یک پاسخِ خوب ابتدا جسم یا مجموعهٔ مورد مطالعه را مشخص می‌کند، سپس داده‌ها و فرض‌ها را می‌نویسد.

در این درس، مثال‌ها عمداً ساده‌اند: نیرو ثابت، حرکت در مسیرِ مشخص و مقاومتِ هوا در بعضی مسئله‌ها نادیده گرفته می‌شود. این فرض‌ها را در حاشیه نگه دار. اگر بعداً نتیجه را با یک آزمایشِ واقعی مقایسه می‌کنی، اختلاف می‌تواند از همین ساده‌سازی‌ها بیاید. فرمولِ درست روی مدلِ نامناسب، توضیحِ کاملِ واقعیت نیست.

منبع این بخش: OpenStax؛ تعریفِ کار ↗

کارِ نیروی ثابت، فقط نیرو ضربدر هر مسافت نیست

کارِ یک نیروی ثابت برابر اندازهٔ نیرو ضربدر جابه‌جایی ضربدر کسینوسِ زاویهٔ میانِ آن‌هاست. اگر نیرو و جابه‌جایی هم‌جهت باشند، کار مثبت است. اگر خلافِ جهت باشند، کار منفی و اگر عمود باشند، کارِ آن نیرو در مدلِ مورد بحث صفر است. جهتِ نیرو را از شکل پیدا کن، نه از مثبت بودنِ عددِ اندازهٔ نیرو.

در مثالِ کشیدنِ جعبه با نیروی ده نیوتن در امتدادِ پنج متر جابه‌جایی، کار پنجاه ژول است. اگر همان نیرو در خلافِ جهت باشد، منفی پنجاه ژول می‌شود. ژول برابر نیوتن‌متر است. فراموش کردنِ زاویه می‌تواند مسئله را عوض کند؛ برای نیروی مایل، فقط مؤلفهٔ هم‌راستا با جابه‌جایی در این کار سهم دارد.

نیروی عمود و مثالِ خستگی

اگر جعبه‌ای را در ارتفاعِ ثابت، افقی جابه‌جا کنی، نیروی عمودیِ نگه‌دارنده در مدلِ ساده بر جابه‌جاییِ افقی عمود است و کارِ مکانیکیِ آن نیرو بر جعبه صفر است. اما بدن برای نگه داشتنِ وضعیت، فرایندهای زیستی دارد و می‌تواند انرژی مصرف کند. صفر بودنِ یک جمله در حسابِ مکانیکیِ جعبه، دربارهٔ کلِ بدن حکم نمی‌دهد.

همین تفاوت را در پاسخ بنویس: «کارِ این نیروی مشخص روی این جسم». جملهٔ کلیِ «هیچ کاری انجام نشده» دامنهٔ نتیجه را بیش از حد بزرگ می‌کند. در حلِ مسئله، نیروی وزن، نیروی دست و اصطکاک را جدا بررسی کن. ممکن است کارِ یکی صفر و دیگری غیرصفر باشد. جمعِ کارها با کارِ یک نیروی منفرد یکی نیست.

منبع این بخش: OpenStax؛ انرژیِ جنبشی و کار ↗

انرژی جنبشی و اثرِ توانِ دومِ سرعت

انرژی جنبشیِ انتقالی در مکانیکِ کلاسیک برابر نصفِ جرم ضربدر مربعِ تندی است. برای جسمِ دوکیلوگرمی با تندیِ سه متر بر ثانیه، انرژی نه ژول می‌شود. اگر تندی دو برابر و جرم ثابت شود، انرژی چهار برابر می‌شود. پس رابطهٔ انرژی با تندی خطی نیست و دو برابر شدنِ تندی را نباید دو برابر شدنِ انرژی دانست.

این مثال را با دو مقدارِ سه و شش حساب کن: نه و سی‌وشش ژول. سپس جرم را دو برابر کن و تندی را ثابت نگه دار؛ انرژی دو برابر می‌شود. تغییرِ یک متغیر در هر آزمایش کمک می‌کند نقشِ توانِ دوم روشن شود. برای سرعت‌های نزدیکِ نور، این فرمولِ کلاسیک کافی نیست؛ دامنهٔ کاربردِ مدل را از یاد نبر.

قضیهٔ کار و انرژی چه می‌گوید؟

کارِ خالصِ نیروها روی یک جسم برابر تغییرِ انرژیِ جنبشیِ آن در چارچوبِ مناسبِ مکانیکِ کلاسیک است. اگر کارِ خالص مثبت باشد، انرژیِ جنبشی افزایش می‌یابد. اگر منفی باشد، کاهش پیدا می‌کند. کارِ مثبتِ یک نیرو به‌تنهایی افزایشِ انرژی را تضمین نمی‌کند، چون نیروهای دیگر ممکن است کارِ منفیِ بیشتری انجام دهند.

فرض کن نیرویِ کشش پنجاه ژول کار و اصطکاک منفی بیست ژول کار کند و کارِ نیروهای دیگر صفر باشد. کارِ خالص سی ژول است. اگر انرژیِ جنبشیِ اولیه ده ژول بوده، انرژیِ نهایی چهل ژول می‌شود. ابتدا جمعِ کارها را پیدا کن، بعد تغییرِ انرژی را اعمال کن. جابه‌جا کردنِ انرژیِ نهایی با تغییرِ انرژی، خطای رایجِ این بخش است.

منبع این بخش: OpenStax؛ توان ↗

انرژی پتانسیلِ گرانشی و مرجع

نزدیکِ سطحِ زمین و با تقریبِ میدانِ یکنواخت، تغییرِ انرژیِ پتانسیلِ گرانشی برابر جرم ضربدر شتابِ گرانش ضربدر تغییرِ ارتفاع است. برای جرمِ دو کیلوگرم، افزایشِ ارتفاعِ سه متر و شتابِ فرضیِ ده متر بر مجذورِ ثانیه، افزایشِ انرژی شصت ژول است. عددِ ده در این مثال یک تقریبِ آموزشی است.

صفرِ انرژیِ پتانسیل را می‌توان با مرجعِ مناسب انتخاب کرد؛ تغییرِ انرژی برای مسئله مهم است. اگر ارتفاعِ زمین را صفر بگیری یا سطحِ میز را، عددِ مطلقِ انرژی فرق می‌کند، ولی اختلافِ بینِ دو وضعیتِ یکسان تغییر نمی‌کند. در پاسخ، مرجع را مشخص کن تا عددِ تو با عددِ فردِ دیگری که مرجعِ متفاوتی گرفته بی‌دلیل متناقض به نظر نرسد.

پایستگیِ انرژی با پایستگیِ انرژیِ مکانیکی فرق دارد

انرژیِ کل در حسابداریِ درستِ سیستم پایسته است، اما انرژیِ مکانیکی می‌تواند به شکل‌های دیگر مانند انرژیِ درونی منتقل شود. در حضورِ اصطکاک، کاهشِ مجموعِ جنبشی و پتانسیل به معنی نابود شدنِ انرژی نیست. باید انتقال‌ها و شکل‌های دیگر را در مدل وارد کرد. عبارتِ «انرژی از بین رفت» معمولاً حسابِ ناقص را پنهان می‌کند.

برای یک سر خوردنِ ساده، انرژیِ اولیه، کارِ نیروهای غیرمحافظه‌کار و انرژیِ نهایی را جدا بنویس. اگر اصطکاک را نادیده گرفته‌ای، همان فرض را ذکر کن و نتیجه را فقط برای آن مدل نگه دار. در آزمایشِ واقعی، بخشی از اختلاف می‌تواند از گرما، صدا یا حرکت‌های نادیده‌گرفته‌شده باشد. اندازه‌گیریِ ناقص هم ممکن است نقش داشته باشد؛ همهٔ اختلاف را به یک علت نسبت نده.

توان، سرعتِ انتقالِ انرژی است

توانِ متوسط برابر انرژیِ منتقل‌شده یا کارِ انجام‌شده تقسیم بر زمان است. اگر شصت ژول در دو ثانیه منتقل شود، توانِ متوسط سی وات است. انجامِ همان کار در شش ثانیه، توانِ متوسط ده وات می‌دهد. مقدارِ کار یکی است، اما آهنگِ انجامِ آن فرق دارد. وات واحدِ انرژی نیست؛ ژول بر ثانیه است.

در مثالِ مصرف، دستگاهِ فرضیِ یک‌کیلوواتی که یک ساعت با همان توان کار کند، یک کیلووات‌ساعت انرژی مصرف می‌کند؛ برابر ۳٫۶ میلیون ژول. کیلووات‌ساعت را با کیلووات قاطی نکن. اولی انرژی و دومی توان است. برای دستگاهِ واقعی، توان می‌تواند در طولِ زمان تغییر کند و برچسبِ نامی لزوماً مصرفِ ثابتِ تمامِ مدت را نشان نمی‌دهد.

بازده و مرزِ «مفید»

بازده را می‌توان نسبتِ خروجیِ مفید به ورودیِ انرژی در مرزِ مشخصِ سیستم تعریف کرد. اگر از هزار ژول ورودی، دویست ژول به خروجیِ مورد نظر برسد، بازده بیست درصد است. باقیِ انرژی نابود نشده؛ به شکل‌ها یا مسیرهای دیگری رفته که در آن کاربرد مفید حساب نشده‌اند. بنابراین باید تعریفِ خروجیِ مفید را هم بنویسی.

دو دستگاه را فقط با عددِ بازده مقایسه نکن مگر وظیفه، شرایط و مرزِ اندازه‌گیری یکسان باشد. در یک کار، گرما ممکن است اتلاف و در کارِ دیگر همان خروجیِ هدف باشد. این نکته نشان می‌دهد عددِ فنی بدون تعریفِ کاربرد، می‌تواند گمراه‌کننده شود. برای تمرین، یک سیستمِ گرم‌کننده و یک موتور را تصور کن و بگو «مفید» در هر کدام چه معنایی دارد.

تمرینِ پایان و استفاده از ساروی

جسمِ چهارکیلوگرمی با تندیِ دو متر بر ثانیه، هشت ژول انرژیِ جنبشی دارد. اگر کارِ خالص دوازده ژول باشد، انرژیِ نهایی بیست ژول است. در مسئلهٔ دیگر، انتقالِ صد ژول در پنج ثانیه توانِ متوسط بیست وات می‌دهد. برای هر جواب، واحد و مرزِ سیستم را بنویس؛ عددِ تنها پاسخِ کامل نیست.

در ساروی، صورتِ مسئله و شکلِ نیروها را توصیف کن و بخواه ابتدا فرض‌ها، جهت‌ها و واحدها را از تو بپرسد. بعد هر مرحله را خودت انجام بده. اگر نتیجه غیرمنطقی شد، از مدل بخواه کنترلِ ابعادی و علامت را بررسی کند. برای ادامه، درسِ مشتق و انتگرال نشان می‌دهد چگونه نرخ و انباشت را در مدل‌های پیوسته دقیق‌تر می‌خوانیم.