مشتق چیست؟ از شیب خط تا حل مسئلهٔ بیشینه و کمینه

تابع را پیش از مشتق بشناس

تابع به هر ورودیِ مجاز یک خروجی مشخص نسبت می‌دهد. در مثال این درس، افِ ایکس برابر ایکس به توان دو است. ورودی سه خروجی نه دارد و ورودی منفی سه نیز خروجی نه دارد. برابر بودن دو خروجی تابع بودن را نقض نمی‌کند؛ مشکل وقتی است که یک ورودی مشخص چند خروجی متناقض داشته باشد و قاعدهٔ انتخاب هم تعریف نشده باشد.

قبل از شروع حساب، دامنه را بنویس. برای تابع مربع می‌توان تمام اعداد حقیقی را در نظر گرفت، ولی برای یک مدلِ طولِ ضلع، ورودی منفی معنای فیزیکی ندارد. فرمول جبری و مدل کاربردی همیشه دامنهٔ یکسانی ندارند. این تفاوت بعداً در بهینه‌سازی مهم می‌شود: نقطه‌ای که روی کاغذ جواب است ممکن است بیرون محدودهٔ قابل اجرای مسئله باشد.

منبع این بخش: OpenStax؛ تعریف مشتق ↗

شیب متوسط دو نقطه

بین ورودی‌های دو و سه، خروجی تابع مربع از چهار به نه می‌رسد. تغییر خروجی پنج و تغییر ورودی یک است؛ شیب متوسط پنج می‌شود. اگر بازه را از دو تا دوونیم بگیری، شیب متوسط چهارونیم است. پس شیب منحنی مانند یک خط راست در همهٔ بازه‌ها ثابت نیست؛ باید مشخص کنی دربارهٔ کدام بازه حرف می‌زنی.

یک جدول با ورودی‌های دو، دوونیم و سه بساز. برای هر دو نقطه، تغییرها را با همان ترتیب کم کن. اگر صورت را «جدید منهای قدیم» و مخرج را برعکس بنویسی، علامت اشتباه می‌شود. نوشتن واحد هم کمک می‌کند: اگر خروجی متر و ورودی ثانیه باشد، شیب متر بر ثانیه است. مشتق فقط نماد نیست؛ معنای نرخ تغییر را نگه می‌دارد.

تعریف حدی، بدون تقسیم بر صفر

برای نزدیک شدن به شیب در یک نقطه، ورودی دوم را ایکس به‌علاوهٔ اچ می‌گیریم. نسبت تغییرها برابر است با تفاوتِ خروجی‌های این دو ورودی تقسیم بر اچ. اچ در این کسر صفر نیست؛ می‌پرسیم وقتی به صفر نزدیک می‌شود، نسبت به چه مقداری نزدیک می‌شود. اگر این حد وجود داشته باشد، مشتق در آن نقطه را به دست آورده‌ایم.

در تابع مربع، بسطِ مربعِ ایکس به‌علاوهٔ اچ و کم کردن ایکس‌مربع، عبارتِ دو ایکس اچ به‌علاوهٔ اچ‌مربع می‌دهد. چون اچ غیرصفر است، تقسیم بر آن مجاز است و دو ایکس به‌علاوهٔ اچ باقی می‌ماند. با نزدیک شدن اچ به صفر، حد دو ایکس است. این مسیر توضیح می‌دهد فرمول از کجا می‌آید؛ صرفاً یک قاعدهٔ حفظی نیست.

f'(x) = lim(h→0) [f(x+h)-f(x)]/h
f(x) = x²
[(x+h)²-x²]/h = 2x+h, h ≠ 0
f'(x) = 2x

مقدار مشتق با مقدار تابع فرق دارد

در ورودی سه، مقدار تابع مربع نه و مقدار مشتق شش است. عدد نه ارتفاع نمودار و عدد شش شیب مماس در آن نقطه را توصیف می‌کند. اگر سؤال از «نرخ تغییر در سه» می‌پرسد، پاسخ نه نیست. یکی از ساده‌ترین راه‌های کنترل جواب، نوشتنِ کنار همِ افِ سه و اف‌پریمِ سه با دو برچسب متفاوت است.

خط مماس نیز خودِ منحنی نیست. در نزدیکی نقطهٔ سه، خطی با شیب شش و گذرنده از نقطهٔ سه و نه، تقریب محلی می‌سازد. برای ورودی سه‌ویک‌دهم، تقریب خطی نه‌وشش‌دهم است، درحالی‌که مقدار دقیق نه‌وشصت‌ویک‌صدم می‌شود. فاصلهٔ این دو در مثال کوچک است، اما با دور شدن از نقطه لزوماً کوچک نمی‌ماند. کلمهٔ «محلی» را از تعریف تقریب حذف نکن.

قواعد پایه را با یک مثال کنترل کن

مشتق ثابت صفر است و مشتق ایکس به توان صحیح مثبتِ ان برابر ان ضربدر ایکس به توان ان‌منهای‌یک است. مشتق مجموع نیز مجموع مشتق‌هاست. برای تابع سه ایکس‌مربع منهای چهار ایکس به‌علاوهٔ هفت، مشتق شش ایکس منهای چهار می‌شود. عدد هفت حذف می‌شود چون بالا بردن یک نمودار به اندازهٔ ثابت، شیب‌هایش را عوض نمی‌کند.

در ورودی دو، مشتقِ این مثال هشت است. برای کنترل عددی، مقدار تابع در دو و دو‌ویک‌هزارم را حساب کن و نسبت تغییر را به دست آور. نتیجه باید نزدیک هشت باشد، نه لزوماً دقیقاً هشت؛ چون هنوز از یک بازهٔ غیرصفر استفاده کرده‌ای. این کنترل به تو کمک می‌کند یک خطای علامت یا توان را پیدا کنی، ولی جای اثبات قاعده را نمی‌گیرد.

قاعدهٔ زنجیره‌ای؛ تغییرِ داخل و خارج

تابعِ حاصل از مربعِ سه ایکس به‌علاوهٔ یک را در نظر بگیر. ابتدا تابع داخلی سه ایکس به‌علاوهٔ یک و تابع خارجی مربع کردن را تشخیص بده. مشتق خارجی در ورودیِ داخلی، دو برابرِ سه ایکس به‌علاوهٔ یک است؛ سپس در مشتق داخلی، یعنی سه، ضرب می‌کنیم. پاسخ شش ضربدر سه ایکس به‌علاوهٔ یک می‌شود.

یک کنترل مستقل، باز کردن پرانتز است: نه ایکس‌مربع به‌علاوهٔ شش ایکس به‌علاوهٔ یک، مشتق هجده ایکس به‌علاوهٔ شش دارد؛ همان نتیجه است. اگر فقط «دو برابر پرانتز» نوشته‌ای، تغییرِ درون پرانتز را فراموش کرده‌ای. در تمرین با ساروی، بخواه ابتدا نام تابع داخل و خارج را از تو بپرسد؛ این مرحله از حفظ شکل ظاهری فرمول مؤثرتر است.

هر نقطه‌ای مشتق ندارد

تابع قدرمطلق در صفر پیوسته است، اما شیب از چپ منفی یک و از راست مثبت یک است. یک حد مشترک برای نسبت تغییر وجود ندارد، پس در صفر مشتق‌پذیر نیست. این مثال نشان می‌دهد پیوسته بودن به‌تنهایی مشتق‌پذیری را تضمین نمی‌کند. از طرف دیگر، مشتق‌پذیری در یک نقطه پیوستگی در همان نقطه را به همراه دارد.

روی کاغذ شکل وی‌مانند قدرمطلق را بکش و دو خط نزدیک صفر را با شیب‌هایشان علامت بزن. مسئله این نیست که «ماشین‌حساب عددی پیدا نکرده»؛ دو سمت رفتار یکسانی ندارند. اگر AI برای قدرمطلق در صفر عدد صفر بدهد، از آن بخواه حدِ چپ و راست را جدا محاسبه کند. بررسیِ فرض‌ها گاهی مهم‌تر از اجرای درست یک قاعده است.

مسئلهٔ مستطیل با محیط ثابت

فرض کن محیط مستطیل ۲۰ واحد است. اگر یک ضلع ایکس باشد، ضلع دیگر ده منهای ایکس است و مساحت ده ایکس منهای ایکس‌مربع می‌شود. دامنهٔ کاربردی بین صفر و ده است؛ برای یک مستطیلِ غیرمنهدم، دو سر بازه را کنار می‌گذاریم. مشتق مساحت ده منهای دو ایکس است و در ایکسِ پنج صفر می‌شود.

صفر بودن مشتق به‌تنهایی برچسب «بیشینه» نمی‌دهد. در این مثال، مشتق پیش از پنج مثبت و پس از آن منفی است، پس مساحت ابتدا زیاد و بعد کم می‌شود. بیشینه در مربعِ پنج در پنج و مساحت ۲۵ رخ می‌دهد. رفتار نزدیک مرزها نیز با این نتیجه سازگار است. در مسائل دیگر باید نقاط بحرانی، نقاط نامشتق‌پذیر و مرزهای مجاز را بررسی کنی.

یک کنترل عددی کوچک با پایتون

در کد همراه، مشتق عددی را با اختلاف مرکزی تقریب می‌زنیم: مقدار تابع کمی سمت راست، منهای مقدار کمی سمت چپ، تقسیم بر دو اچ. برای تابع مربع در سه، خروجی نزدیک شش است. از این آزمایش برای دیدن مفهوم استفاده کن، نه برای ادعای دقت نامحدود. اچِ خیلی کوچک می‌تواند خطاهای عددی ناشی از محاسبات اعشاری را برجسته کند.

چند مقدار مانند یک‌دهم، یک‌هزارم و یک‌میلیونم را امتحان کن و خروجی را ثبت کن. اگر نتیجه ثابت یا تقریباً ثابت ماند، توضیح بده چرا برای این تابع ساده چنین رفتاری می‌بینی. بعد تابع مکعب را جایگزین کن و با مشتق تحلیلی مقایسه کن. یک ابزار خوب امکان تغییر مثال را می‌دهد؛ فقط دیدن عددِ از قبل آماده، آزمایش کامل نیست.

def f(x):
    return x * x

def derivative(f, x, h=1e-3):
    return (f(x + h) - f(x - h)) / (2 * h)

for h in [1e-1, 1e-3, 1e-6]:
    print(h, derivative(f, 3, h))

assert abs(derivative(f, 3) - 6) < 1e-8

تمرین‌های آخر و برنامهٔ ادامه

مشتق دو ایکس‌مکعب منهای پنج ایکس برابر شش ایکس‌مربع منهای پنج است. در ورودی یک، مقدار مشتق یک می‌شود. مشتقِ (x²+1)² برابر 4x(x²+1) است. برای هر پاسخ یک بار با قاعده و یک بار با باز کردن عبارت، در صورت امکان، بررسی انجام بده.

در ساروی، راه‌حل خط‌به‌خط خودت را بده و بخواه اولین گامِ بی‌دلیل را مشخص کند. بعد از تسلط بر مفهوم شیب، راهنمای انتگرال را بخوان تا ببینی چگونه نرخ تغییر به انباشت وصل می‌شود. اگر در مشتق زنجیره‌ای مشکل داری، پیش از رفتن به مسئلهٔ دشوارتر فقط ترکیب تابع‌ها را تمرین کن. مسیر مناسب از پیدا کردن ضعف مشخص می‌گذرد، نه از جمع کردن فرمول‌های بیشتر.